Artículo

## Proyección estocástica de la mortalidad. Una aplicaciónde Lee-Carter en la Argentina

### Stochastic mortality projection. An application of Lee-Carter in Argentina

Matías Belliard mbelliard@gmail.com
Universidad Nacional de Luján, Argentina
Iván Williams ivanwilliams1985@hotmail.com
Universidad Nacional de Luján, Argentina

Resumen: El principal objetivo del presente artículo es poner a disposición proyecciones estocásticas de mortalidad para la República Argentina, así como presentar el modelo e interpretarlo. Las proyecciones de mortalidad disponibles en la actualidad fueron realizadas hace aproximadamente 10 años, con modelos determinísticos. La que aquí presentamos se apoya en el modelo desarrollado por Lee y Carter en 1992 y aplicado por una importante cantidad de países, instituciones y autores. En el estudio se utilizan datos de fallecimientos y población correspondientes al período 1980-2010, para luego generar tablas de mortalidad proyectadas estocásticamente hasta el año 2050. No menos importante es el detalle metodológico del modelo, la interpretación de las estimaciones y la discusión sobre los impactos que los resultados puedan tener.

Palabras clave: tablas de mortalidad proyectadas, proyección estocástica de mortalidad, Lee-Carter.

Abstract: The main objective of this article is to provide stochastic mortality projections for Argentina, and present the model and its interpretation. Currently available mortality projections were made about 10 years ago, with deterministic models. This stochastic mortality projection is based on the model developed by Lee and Carter in 1992 and used by a significant number of countries, institutions and authors. The study used data on deaths and population for the period 1980-2010, and then generated stochastically mortality tables projected to 2050. Also important methodological detail of the model, the interpretation of the estimates and the discussion on the impacts these may have on various fields.

Keywords: life tables projected, stochastic mortality projection, Lee-Carter.

### Introducción

Considerando los múltiples usos que tienen las proyecciones de población y de mortalidad a largo plazo, es llamativa la poca preocupación que se advierte en la Argentina respecto de su difusión. En la misma línea, resulta escasa la discusión académica referida a proyecciones de mortalidad tanto en su aspecto teórico/académico como empírico/aplicado. Dichas proyecciones constituyen un factor clave para estimar el aumento de los costos de pensiones, las primas de seguros relacionados con la supervivencia o con el fallecimiento de las personas y la asistencia sanitaria de los adultos mayores, entre otras temáticas de interés.

Recientemente, el Centro Latinoamericano de Demografía ( celade, 2012) y la Organización de Naciones Unidas ( onu, 2004) divulgaron por primera vez proyecciones de población de largo plazo, el celade hasta el año 2100 y las Naciones Unidas hasta el año 2300. Según estas publicaciones, la proyección de esperanza de vida al nacer (evn) de la Argentina para ambos sexos es la siguiente: 85.8 años de edad para 2100 y 98.6 años de edad para hombres y 101 años para mujeres para el año 2300. Es importante destacar que en los citados trabajos solo se publicó el nivel de mortalidad y que no se incluyen las tablas respectivas. Las últimas tablas de mortalidad que dio a conocer el celade (2010) alcanzan hasta el año 2020.

En el ámbito académico internacional, especialmente entre demógrafos y biólogos, existen ciertas discrepancia con respecto a cuáles serán los escenarios futuros en lo relativo a las tendencias de la mortalidad. Algunos postulan la existencia de un límite para la evn (Fries, 1980; Olshansky, Carnes y Cassel, 1990), visión que fue aceptada mayoritariamente por organismos internacionales y nacionales para sus proyecciones de población –aunque, con el transcurso de los años, han ido ampliando dicho límite.

Por el contrario, otros autores, apoyados en datos empíricos, esperan avances sin establecer límites para la evn. Oeppen y Vaupel (2002) argumentan que en el último siglo y medio la evn ha aumentado 2.5 años por década y postulan, como escenario razonable, la continuidad de esta tendencia. Para los autores, la constante alza observada en la evn y el corrimiento de los límites propuestos por diversos investigadores confirman la opinión de que, por ahora, no pareciera estar cerca ningún límite. Robine y Vaupel (2002) observan que la edad máxima al fallecimiento ha sido una constante biológica: alrededor de 100-110 años –aunque, durante los últimos años del siglo xx, ese tope parece haber sido superado en al menos 10 años, pues la máxima edad al fallecimiento observada con datos confiables se eleva a 122 años.

En este sentido, es importante marcar que la situación demográfica de los países no es homogénea y que, si bien las variables demográficas poseen movimientos relativamente suaves y moderadamente previsibles en el tiempo (dejando de lado, por supuesto, el componente migratorio), es muy baja la probabilidad de que las estimaciones futuras coincidan con el valor proyectado en forma determinística. Para subsanar estos inconvenientes es que surgen los modelos estocásticos. Estos permiten estimar una nube de valores de la que se espera que contenga –con un determinado grado de confianza– los valores futuros de las variables demográficas en cuestión.

En este breve trabajo nos proponemos proyectar las tablas de mortalidad y, como consecuencia, la esperanza de vida para la población argentina, bajo un modelo estocástico desarrollado por Lee y Carter (1992). A diferencia de las proyecciones del celade y del indec, que se basan en modelos puramente determinísticos (Pujol, 1984; indec, 2004; celade, 2010), el modelo de Lee-Carter se caracteriza por agregar un componente estocástico que intenta capturar el comportamiento de la mortalidad en el tiempo y otros dos componentes que permiten explicar la relación existente entre el nivel y la estructura de la mortalidad, los tres en una única expresión matemática.

El modelo de Lee-Carter ha sido muy difundido en la literatura demográfica y actuarial, tanto teórica como aplicada. En cuanto a su aplicación, existe una importante evidencia empírica que muestra su efectividad en países como los Estados Unidos (Carter y Lee, 1992) –donde se aplicó en proyecciones referidas al equilibrio del sistema de seguridad social–, en los países que conforman el G7 (Tuljapurkar, Li y Boe, 2000), en Suecia (Wang, 2007), en Chile (Lee y Rofman, 1994) y en otros (Boot et al., 2006).

El presente trabajo abarca esta introducción y tres secciones: una sección metodológica, donde se presenta detalladamente el modelo utilizado y la fuente de datos que permite nutrirlo; una segunda sección, donde se exponen los resultados producto de la aplicación del modelo para la Argentina; y un último apartado en el que se desarrollan las consideraciones generales. Adicionalmente, se incluye un anexo estadístico con los resultados del modelo y las tablas de mortalidad proyectadas.

### Metodología y fuente de datos

#### Metodología

El modelo desarrollado por Lee y Carter (1992) para caracterizar las tasas de mortalidad, fue el siguiente:

Ecuación 1

[Ecuación 1]

donde:

αx refiere a la estructura de la mortalidad durante todo el período de estudio;

Kt implica el comportamiento tendencial (o nivel) de la mortalidad en el tiempo;

βx da una medida de la fuerza con la que esa situación general (Kt) afecta a cada grupo específico de edad;

Ex,t es un término de error que depende del tiempo y la edad, el cual se supone ruido blanco (proceso estocástico estacionario de esperanza igual a cero, varianza constante y covarianzas nulas) e implica las influencias no capturadas por el modelo.

Este modelo se denomina modelo bivariable debido a que intervienen la variable edad (enfoque transversal) y la variable tiempo (que unida a la anterior permite un enfoque longitudinal). 1

Para facilitar la estimación de los parámetros, se linealiza la expresión anterior:

Ecuación 2

[Ecuación 2]

Los autores Lee y Carter (1992) detallaron dos condiciones sobre los parámetros tales que la solución que provenga de la optimización otorgue una solución única, ya que algunas combinaciones lineales resultarían en iguales resultados de ln m x,t (Cairns et al., 2009). Estas son:

Ecuación 3

[Ecuación 3]

Ecuación 4

[Ecuación 4]

La conclusión inmediata de lo anterior es que el parámetro αx resulta, en el promedio, de ln mx,t para cada grupo de edad (dado el supuesto sobre la esperanza de Ex,t). En general, cabe esperar solo valores positivos de βx, debido a que cambios en el nivel no producen efectos de signo diferente entre distintas edades.

La estimación no puede realizarse a través de un modelo de regresión usual ya que, como bien señalan los autores, no existe una variable regresora observable. Estos proponen, una vez obtenida la estimación de

Ecuación 5

[Ecuación 5]

a partir de la minimización de

Ecuación 6

[Ecuación 6]

utilizar el método Singular Value Descomposition (svd) para las estimaciones de los parámetros restantes (Betzuen, 2010).

En este trabajo se utilizará uno de los métodos propuestos por Wilmoth (1993), el cual se basa en una estimación del modelo por máxima verosimilitud. 2 En trabajos previos, se ha mostrado que este método reporta más estabilidad para el caso de la Argentina (Andreozzi y Blaconá, 2011) y contempla la presencia de heterocedasticidad (Wilmoth, 1993; Brouhns, Denuit y Vermunt, 2002), algo necesario si se considera que las tasas de edades más altas tienen menos defunciones y, por lo tanto, mayor variabilidad.

El modelo en cuestión consiste en suponer una distribución Poisson en la variable número de defunciones por edad del período t [Dxt] , siendo su parámetro definido por

Ecuación 7

[Ecuación 7]

con Lxt representando los expuestos al riesgo (que λxt dependa de x y t permite que las varianzas no sean iguales). La función de verosimilitud que se plantea tiene como principal supuesto que las observaciones son independientes y están idénticamente distribuidas, o sea que las defunciones de un año no dependen de las anteriores y que todas quedan definidas por una idéntica distribución con sus respectivos parámetros. Siendo dx,t las defunciones observadas, la probabilidad conjunta será:

Ecuación 8

[Ecuación 8]

Y aplicando logaritmo resulta:

Ecuación 9

[Ecuacion 9]

En el caso del modelo que nos importa, el parámetro de la Poisson será

Ecuación 10

[Ecuación 10]

donde, al maximizar l, se obtengan los estimadores ax, bx y kt . La resolución de las derivadas parciales igualadas a cero (ecuaciones normales) se opera por métodos iterativos.

Una vez estimados los parámetros con la trayectoria pasada, se trata de encontrar un modelo autorregresivo que ajuste kt y permita luego proyectar las tasas suponiendo constante la estructura de mortalidad obtenida. 3 Los autores observaron una tendencia lineal decreciente en el período estudiado, por lo que la elección del modelo autorregresivo debía considerar este comportamiento. Fue escogido un modelo arima (0,1,0), donde el campo central indica la diferenciación necesaria para trabajar con un proceso estacionario (en este caso d=1, por su carácter lineal). De esta forma se planteó:

Ecuación 11

[Ecuacion 11]

donde:

A es el cambio anual promedio entre los niveles del índice k sucesivos, y

εt es el error asociado a cada t, el cual se supone tiene una distribución normal con media 0, desvío constante y covarianzas nulas.

En la incorporación de este modelo arima al modelo general de proyección de la mortalidad, se encuentra implícita la idea subyacente de que se espera que el nivel de la mortalidad quede explicado mayormente por la experiencia pasada (en particular, por la inmediatamente anterior, y no de manera determinante por factores explicativos externos), y así continúe esa tendencia.

La proyección de las tasas de mortalidad se logra haciendo

Ecuación 12

[Ecuación 12]

donde se construyen intervalos de confianza para kt, el cual transmite su aleatoriedad a las tasas de mortalidad por edad estimadas a cada momento, para luego obtener las esperanzas de vida y sus intervalos.

#### Fuente de datos

Para estimar las tasas de mortalidad por edad, son necesarios datos de fallecimientos (numerador) y de población expuesta a riesgo (denominador) en el período bajo estudio. El presente trabajo toma como período base para proyectar la mortalidad el intervalo 1980-2010, dado que están disponibles datos digitalizados y se cuenta con una ventana de al menos 30 años, según las recomendaciones del modelo (Lee y Carter, 1992). Los datos referidos responden a dos fuentes de información diferentes en cuanto a lo institucional, a la forma de registración y al objeto de estudio.

Los datos de población que se utilizan son los provistos por el indec en sus proyecciones de población. Dado que es necesario disponer de la población por edad y año calendario desde 1980 hasta 2010 y que en las proyecciones de población se corrige una diversa gama de problemas que suelen presentarse en los censos nacionales de población ( onu, 1955; Chackiel y Macció, 1979; Massa, 1997; Massa y Bassarky, 2003), es que se elige su uso en lugar de los censos.

En línea con la decisión previa, se utilizaron datos publicados por el indec (2004) con algunos arreglos. En la citada publicación, se proveen efectivos de población según sexo y año calendario desde 1950 hasta 2015 y las estructuras poblacionales por edad, sexo y quinquenio. Por ello, para establecer los efectivos de población por año calendario, edad y sexo fue necesario interpolar linealmente las estructuras de población quinquenales provistas, para luego aplicarles el volumen de población publicado según sexo y año calendario.

Los datos de las defunciones son procesados, consistidos y difundidos por la Dirección de Estadísticas e Informes de Salud (deis) dependiente del Ministerio de Salud de la República Argentina. Los fallecimientos son informados y registrados de forma continua a través de los certificados de defunción, cumplimentados (con fines estadísticos) por un profesional que certifica la defunción cumpliendo las recomendaciones dadas por la Organización Mundial de la Salud (oms). La cantidad de defunciones utilizadas en el trabajo, segmentadas por grupos de edad y sexo, fue solicitada a la Dirección de Estadísticas e Información de Salud, aunque se corroboró que poseen similares cantidades que las publicadas en los anuarios de estadística vitales referentes a los años de estudio. Respecto del nivel de cobertura y de la calidad de las estadísticas vitales, existen distintos trabajos que destacan que el sistema nacional posee, al menos dentro del contexto latinoamericano, un nivel aceptablemente bueno durante el período de estudio ( cepal, 2010 y ops, 2007), lo que permite otorgarle confianza a la estimación de las tasas de mortalidad.

### Estimación y proyección

Las tasas de mortalidad con las que se trabajará corresponden a grupos quinquenales de edad, con excepción del último grupo abierto final referente a mayores de 75 años. El método utilizado en el presente estudio, como se indicó en la sección metodológica, fue el de estimación por máxima verosimilitud. En el Anexo estadístico del presente trabajo y en los siguientes párrafos se expondrán los valores obtenidos producto de la estimación del modelo desarrollado por Lee y Carter (1992).

En el Gráfico 1 es posible observar cómo el parámetro ax captura el patrón típico que presenta la mortalidad por edades en la Argentina (Grushka, 2010; Belliard y Grushka, 2009). Puede verse una rápida reducción de la mortalidad en edades infantiles (menores a diez años) y una destacada influencia en edades jóvenes de los fallecimientos producidos por causas externas (accidentes y violencia, sobre todo en el caso masculino). Luego, se destaca un crecimiento exponencial de la mortalidad de adultos mayores.

Gráfico 1: Estimador de αx. Ambos sexos. Argentina. Años 1980-2010

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Gráfico 1
Estimador de αx Ambos sexos Argentina Años 1980-2010

##### Fuente: Elaboración propia sobre la base de la Tabla 1 del Anexo estadístico.

Al estimar el parámetro bx y observar su comportamiento, se manifiesta el impacto que tienen los cambios en los niveles generales de mortalidad sobre cada grupo de edad, notándose una importante diferencia por grupo (Gráfico 2).

Gráfico 2: Estimador de bx. Ambos sexos. Argentina. Años 1980-2010

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Gráfico 2
Estimador de bx Ambos sexos Argentina Años 1980-2010

##### Fuente: Elaboración propia sobre la base de la Tabla 1 del Anexo estadístico.

Nótese que en las edades tempranas la reducción de la mortalidad tuvo un impacto importante, aunque disminuye rápidamente hasta tener un mínimo en los 15-19; por su parte, en las edades adultas el impacto de la reducción fluctúa: para los adultos jóvenes crece, presentando un pico relativo en el rango 40-44; luego decrece en las edades posteriores, aunque con alguna oscilación.

Los grupos de edades inferiores a 15 años y los comprendidos entre los 30 y 60 años vieron reducir sus tasas de mortalidad más del 30% durante el período 1980-2010.

Llama la atención lo que sucede con b x en las edades jóvenes. Si suponemos, por un momento, el fenómeno de mortalidad en los jóvenes por causas externas (violencia, accidentes) como exógeno a la evolución general de la mortalidad, podríamos decir que la dependencia del índice general k es menor en esta franja etaria por presentar una mortalidad que contrarresta con mucha fuerza al avance sanitario, tecnológico y de atención primaria de la salud (entre otros factores que mejoran las condiciones de sobrevivencia general dada por k), en comparación con las demás edades. Si quitáramos este efecto, quizás la relación de b respecto de la edad tendría un comportamiento decreciente más claro.

Por último, al observar que los valores de k en el tiempo son claramente decrecientes, aunque con pequeñas perturbaciones, esto deja en evidencia (y confirma lo sabido) que la población argentina ha disminuido su mortalidad general durante el período de estudio (indec, 2004). Adicionalmente, el comportamiento observado de la serie induce a pensar que podría modelarse correctamente con una función lineal decreciente que incluya un componente aleatorio (Gráfico 3).

Gráfico 3: Estimador de kt. Ambos sexos. Argentina. Años 1980-2010

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Gráfico 3
Estimador de kt Ambos sexos Argentina Años 1980-2010

##### Fuente: Elaboración propia sobre la base de la Tabla 2 del Anexo estadístico.

Para evaluar el nivel general del ajuste de la función que modela las tasas de mortalidad en el tiempo, conforme al trabajo original de Lee y Carter (1992), deben considerarse los ratios de varianzas explicadas para cada edad como una medida de la bondad del ajuste. Mientras que este porcentaje resulta muy satisfactorio para la mayor parte de las edades, en las comprendidas entre los 15 y 29 años cumplidos la bondad del ajuste (medido por R 2 ) no superó el 50%. Sin embargo, como se señaló, el ajuste global es del 81% y llegaría al 95% si se excluyera al grupo con más variabilidad, el grupo abierto final de 75 y más años (Lee-Carter, 1992, p. 663) (Gráfico 4).

Gráfico 4: Logaritmo de las tasas de mortalidad y ajuste. Edades seleccionadas. Ambos sexos. Argentina. Años 1980-2010

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Gráfico 4
Logaritmo de las tasas de mortalidad y ajuste Edades seleccionadas Ambos sexos Argentina Años 1980-2010

##### Fuente: Elaboración propia sobre la base de las Tabla 1, 2 y 3 del Anexo estadístico, de la DEIS y del INDEC.

De acuerdo con lo indicado previamente –reflejado en el Gráfico 4–, el ajuste del modelo se consideró aceptable. Algo interesante que permite la metodología de Lee- Carter es establecer un modelo de tablas de mortalidad suavizado para el período estudiado (1980-2010) (Gráfico 5).

Gráfico 5: Tasas de mortalidad suavizadas según Lee-Carter. Ambos sexos. Argentina. Años 1980-2010

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Gráfico 5
Tasas de mortalidad suavizadas según Lee-Carter Ambos sexos Argentina Años 1980-2010

##### Fuente: Elaboración propia sobre la base de la Tabla 3 del Anexo estadístico.

Entonces, el paso siguiente es especificar el modelo que permite proyectar el valor del parámetro k, y así obtener la proyección de las tasas de mortalidad futuras por edad. Como se señaló, el descenso presenta una tendencia lineal que da la pauta de lo adecuado de utilizar un modelo arima (0,1,0). La especificación obtenida a través del modelador experto del software spss fue la siguiente:

kt = kt-1+ (– 0.20383) + et

R 2 = 0.9442,

siendo los desvíos estimados: DS(Â)= 0.0796; DS(e)= 0.4362.

El paquete estadístico puede brindar los intervalos de confianza de k, y con ellos se procede a proyectar las tasas de mortalidad y las esperanzas de vida con sus respectivos intervalos de confianza, aunque, tal como señalan Lee y Rofman (1994), la aleatoriedad de las proyecciones no proviene, bajo los supuestos del modelo, solamente de la variable k. Se supone que la estimación de ax y bx aporta errores que se vuelven insignificantes a medida que el horizonte se aleja. Además, según los autores, está comprobado que esta modelización soluciona satisfactoriamente los problemas asociados al comportamiento del error de k, tales como la autocorrelación y la no-normalidad, importantes para verificar los supuestos de e y generar los intervalos de confianza.

Al analizar los desvíos puntuales para cada proyección anual de k, se consideró que ambos desvíos (el del error y el de la constante) son independientes, por lo que su influencia conjunta es aditiva y depende del lapso del período a proyectar, en tanto que es creciente a medida que el horizonte se aleja (Lee y Rofman, 1994). De esta manera, el desvío estimado del parámetro k2010+s será calculado como

Ecuacion 13

[Ecuación 13]

el que permitirá generar los intervalos con un 95% de confianza (Gráfico 6).

Gráfico 6: Proyección de kt e intervalos de confianza. Ambos sexos. Argentina. Años 1980-2050

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Gráfico 6
Proyección de kt e intervalos de confianza Ambos sexos Argentina Años 1980-2050

##### Fuente: Elaboración propia sobre la base de la Tabla 2 del Anexo estadístico.

El modelo de Lee-Carter replica, en las edades futuras, el comportamiento o ganancia observada por grupos de edades durante el período de estudio. Luego, a partir de las tasas por grupos quinquenales de edad proyectadas, es posible generar las tablas de mortalidad proyectadas y las esperanzas de vida al nacimiento que surgirán de cada tabla de mortalidad (Gráfico 7).

Gráfico 7: Esperanza de vida al nacer proyectada e intervalos de confianza. Ambos sexos. Argentina. Años 1980-2050

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Gráfico 7
Esperanza de vida al nacer proyectada e intervalos de confianza Ambos sexos Argentina Años 1980-2050

##### Fuente: Elaboración propia sobre la base de la Tabla 5 del Anexo estadístico.

Finalmente, conviene evaluar el resultado obtenido comparándolo con las proyecciones realizadas por la cepal (2012) y por la onu (2004) (Gráfico 8).

Gráfico 8: Esperanza de vida al nacer histórica y proyectada e intervalos de confianza. Comparación con proyecciones del CELADE y de la ONU. Ambos sexos. Argentina. Años 1980-2050

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Gráfico 8
Esperanza de vida al nacer histórica y proyectada e intervalos de confianza Comparación con proyecciones del CELADE y de la ONU Ambos sexos Argentina Años 1980-2050

##### Fuente: Elaboración propia sobre la base de la Tabla 5 del Anexo estadístico, del CELADE (2012) y de la ONU (2004).

Se puede notar que las proyecciones del celade y de la onu, si bien son contenidas por el intervalo de confianza, se encuentran un poco por debajo de la esperada según el modelo Lee-Carter, diferencia esta que se acrecienta levemente a medida que extendemos el horizonte de análisis. Como ya se mencionó, responden a metodologías de proyección diferentes, cuya eficacia podremos evaluar comparativamente con el transcurso del tiempo. 4

### Comentarios finales

Los resultados obtenidos permiten contar con la proyección de la esperanza de vida y de tablas de mortalidad para la Argentina en el período 2011-2050. Según las proyecciones realizadas, se calcula una esperanza de vida al nacer de 82 años para 2050, es decir, un incremento de 6.3 años respecto de la esperanza de vida al nacer observada en 2010. Por su parte, de mantenerse las mejoras pasadas, la probabilidad de sobrevivir a los primeros 5 años de vida se espera que aumente un 1% en igual lapso.

Desde la óptica social, económica e individual, vivir más tiempo o que menor cantidad de niños fallezcan en edades prematuras resulta, en sí mismo, un hecho de gran importancia. Pero la utilidad de los resultados presentados también debe medirse en función de sus posibles aplicaciones.

En este sentido, la proyección de la esperanza de vida y de las tablas de mortalidad tiene implicaciones directas sobre el cálculo de primas y rentas vitalicias en la industria de seguros. Si se consideran tablas dinámicas o de cohorte para la cotización de seguros de muerte, las primas disminuirían su nivel ampliando la capacidad de colocación en el mercado, producto de considerar en la cotización las posibles reducciones futuras en el riesgo de muerte.

Es importante tener en cuenta el caso del seguro de vida, en el que las ganancias proyectadas en la esperanza de vida relativizarán durante el resto de la etapa pasiva la capacidad adquisitiva periódica del capital con el que se compra la renta (permaneciendo constante la edad de retiro); así también, a la vez, estaría siendo encarecida la prima debido a las mejoras proyectadas en la supervivencia, con lo cual ambos efectos redundarían en un problema comercial y técnico (en lo que se refiere a mantener en términos reales la renta proveniente de las tablas estáticas actuales).

En la seguridad social, la utilización de los presentes valores afecta las estimaciones proyectadas de egresos en concepto de pensiones por fallecimiento y jubilaciones. En el primer caso, no solo concierne a la cantidad esperada de altas por año sino también al monto esperado a pagar, ya que el beneficiario supérstite tendrá una mortalidad esperada futura reflejada por tablas como las que se presentan en el presente estudio.

Con respecto al sistema jubilatorio y de planes de pensión (Antolin, 2007), el aumento esperado en la duración de la vida puede servir para planificar cambios progresivos con el objetivo de mantener el financiamiento de años ganados en la longevidad (dichos cambios no deben ser necesariamente paramétricos, del tipo aumentar la edad jubilatoria –regresivos para un ya problemático mercado de trabajo–, sino que tal vez podrían incluir medidas que cambien el carácter contributivo y le den a la cuestión una visión social que vaya más allá de la relación años aportados-años cobrados).

Para finalizar, a nivel metodológico, uno de los principales méritos del modelo es que incorpora el análisis de nivel y estructura de mortalidad, permitiendo una fácil proyección estocástica de la mortalidad. A diferencia de otros modelos, donde cada edad tiene un factor de mejora en su mortalidad independientemente de la situación demográfica general, aquí los avances dependen del comportamiento de mortalidad conjunta.

### Bibliografía

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Pujol, J. M. (1984). “Procedimientos de proyecciones de la mortalidad utilizados por celade”, en celade , Métodos para proyecciones demográfica de celade. Santiago de Chile: celade, pp. 87-120.

Robine, J. y Vaupel, J. (2002). “Emergence of supercentenarians in low-mortality countries”, en North American Actuarial Journal, vol. 6, núm. 3, Illinois: Society of Actuaries.

Tuljapurkar, S., N. y C. Boe (2000). “A universal pattern of mortality decline in the G7 countries”, en Nature, vol. 405, pp. 789-792.

Wang, J. Z. (2007). Fitting and Forecasting Mortality for Sweden: Applying the Lee-Carter Model. Tesis de Maestría, Suecia: Dept. of Mathematical Statistics, Stockholm University.

Wilmoth, J. R. (1993). Computational Methods for Fitting and Extrapolating the Lee-Carter Model of Mortality Change. Berkeley: Department of Demography, University of California, Technical Report.

### Anexo Tabla I

##### Tabla 1
Estimación de ax y bx (MLE). Ambos sexos. Años 1980-2010. Argentina

Grupo de edad | ax | bx
0- 4 | -5.32977 | 0.15480
5-9 | -8.09048 | 0.10424
10-14 | -7.98434 | 0.06864
15-19 | -7.17484 | 0.01239
20-24 | -6.88746 | 0.01654
25-29 | -6.78249 | 0.03350
30-34 | -6.58034 | 0.05874
35-39 | -6.26181 | 0.07929
40-44 | -5.85294 | 0.08936
45-49 | -5.41015 | 0.07866
50-54 | -4.95740 | 0.06691
55-59 | -4.55077 | 0.05637
60-64 | -4.15337 | 0.04704
65-69 | -3.76425 | 0.04749
70-74 | -3.33758 | 0.05565
75+ | -2.33686 | 0.03036

##### Fuente: Elaboración propia sobre la base de información suministrada por la DEIS y el INDEC

### Anexo Tabla 2

##### Tabla 2
Estimación y proyección del índice kt para el período 1980-2050 al 95% (ARIMA). Ambos sexos. Argentina

Año (t) | kt | LI(kt) | LS(kt)
1980 | 3.3891 |  |
1985 | 1.6099 |  |
1990 | 1.1526 |  |
1995 | -0.0726 |  |
2000 | -1.4326 |  |
2005 | -2.3742 |  |
2010 | -2.7264 |  |
2011 | -2.9298 | -3.7990 | -2.0607
2015 | -3.7452 | -5.8103 | -1.6800
2020 | -4.7643 | -7.8865 | -1.6422
2025 | -5.7835 | -9.8393 | -1.7277
2030 | -6.8027 | -11.7392 | -1.8661
2035 | -7.8218 | -13.6105 | -2.0332
2040 | -8.8410 | -15.4641 | -2.2179
2045 | -9.8602 | -17.3061 | -2.4143
2050 | -10.8793 | -19.1398 | -2.6189

##### Fuente: Elaboración propia sobre la base de información suministrada por la DEIS y el INDEC.

### Anexo Tabla 3

##### Tabla 3
Tabla de mortalidad estimada según modelo Lee-Carter. Ambos sexos. Sobrevivientes a edades exactas [lx]. Argentina. Años 1980-2010

Edad exacta (x) | 1980 | 1985 | 1990 | 1995 | 2000 | 2005 | 2010
0 | 100,000 | 100,000 | 100,000 | 100,000 | 100,000 | 100,000 | 100,000
5 | 96,052 | 96,984 | 97,048 | 97,606 | 98,055 | 98,358 | 98,490
10 | 95,829 | 96,816 | 96,887 | 97,480 | 97,927 | 98,228 | 98,381
15 | 95,614 | 96,621 | 96,722 | 97,322 | 97,783 | 98,082 | 98,239
20 | 95,189 | 96,261 | 96,382 | 96,967 | 97,417 | 97,737 | 97,867
25 | 94,639 | 95,777 | 95,894 | 96,454 | 96,927 | 97,285 | 97,372
30 | 94,002 | 95,235 | 95,387 | 95,829 | 96,364 | 96,834 | 96,879
35 | 93,183 | 94,567 | 94,752 | 95,154 | 95,707 | 96,290 | 96,327
40 | 92,021 | 93,558 | 93,812 | 94,248 | 94,876 | 95,566 | 95,595
45 | 90,308 | 92,006 | 92,385 | 92,929 | 93,634 | 94,485 | 94,550
50 | 87,745 | 89,702 | 90,204 | 90,837 | 91,725 | 92,737 | 92,945
55 | 84,085 | 86,209 | 86,910 | 87,734 | 88,777 | 89,996 | 90,414
60 | 78,938 | 81,435 | 82,102 | 83,309 | 84,558 | 85,947 | 86,503
65 | 72,159 | 74,662 | 75,521 | 77,006 | 78,689 | 80,072 | 80,767
70 | 62,769 | 66,144 | 66,758 | 68,548 | 70,643 | 72,198 | 72,928
75 | 50,571 | 54,115 | 55,519 | 57,387 | 59,909 | 61,574 | 62,572

##### Fuente: Elaboración propia sobre la base de la Tablas 1 y 2 de este Anexo estadístico.

### Anexo Tabla 4.a

##### Tabla 4.a
Tabla de mortalidad proyectada según modelo Lee-Carter. Ambos sexos. Sobrevivientes a edades exactas [lx] (media). Argentina. Años 2011-2050

Edad exacta (x) | 2011 | 2015 | 2020 | 2025 | 2030 | 2035 | 2040 | 2045 | 2050
0 | 100,000 | 100,000 | 100,000 | 100,000 | 100,000 | 100,000 | 100,000 | 100,000 | 100,000
5 | 98,472 | 98,652 | 98,848 | 99,015 | 99,158 | 99,281 | 99,385 | 99,475 | 99,551
10 | 98,361 | 98,550 | 98,756 | 98,932 | 99,084 | 99,213 | 99,325 | 99,420 | 99,502
15 | 98,224 | 98,420 | 98,635 | 98,819 | 98,978 | 99,115 | 99,233 | 99,334 | 99,422
20 | 97,862 | 98,061 | 98,279 | 98,467 | 98,630 | 98,771 | 98,893 | 98,998 | 99,090
25 | 97,388 | 97,592 | 97,817 | 98,012 | 98,182 | 98,329 | 98,458 | 98,570 | 98,669
30 | 96,889 | 97,106 | 97,345 | 97,555 | 97,739 | 97,901 | 98,044 | 98,169 | 98,281
35 | 96,325 | 96,566 | 96,836 | 97,075 | 97,286 | 97,473 | 97,640 | 97,789 | 97,922
40 | 95,599 | 95,884 | 96,205 | 96,491 | 96,746 | 96,974 | 97,179 | 97,363 | 97,528
45 | 94,548 | 94,904 | 95,307 | 95,668 | 95,993 | 96,285 | 96,548 | 96,785 | 97,000
50 | 92,885 | 93,337 | 93,854 | 94,321 | 94,744 | 95,128 | 95,477 | 95,794 | 96,083
55 | 90,239 | 90,818 | 91,485 | 92,096 | 92,655 | 93,167 | 93,637 | 94,069 | 94,466
60 | 86,288 | 87,017 | 87,866 | 88,652 | 89,380 | 90,055 | 90,681 | 91,263 | 91,803
65 | 80,578 | 81,468 | 82,517 | 83,501 | 84,423 | 85,288 | 86,100 | 86,863 | 87,579
70 | 72,840 | 73,928 | 75,225 | 76,456 | 77,623 | 78,731 | 79,782 | 80,779 | 81,725
75 | 62,620 | 63,985 | 65,630 | 67,208 | 68,723 | 70,174 | 71,564 | 72,895 | 74,168

##### Fuente: Elaboración propia sobre la base de las Tablas 1 y 2 de este Anexo estadístico.

### Anexo Tabla 4.b

##### Tabla 4.b
Tabla de mortalidad proyectada según modelo Lee-Carter. Ambos sexos. Sobrevivientes a edades exactas [lx] (límite inferior). Argentina. Años 2011-2050

Edad exacta (x) | 2011 | 2015 | 2020 | 2025 | 2030 | 2035 | 2040 | 2045 | 2050
0 | 100,000 | 100,000 | 100,000 | 100,000 | 100,000 | 100,000 | 100,000 | 100,000 | 100,000
5 | 98,248 | 98,169 | 98,223 | 98,325 | 98,445 | 98,570 | 98,695 | 98,815 | 98,929
10 | 98,127 | 98,044 | 98,100 | 98,206 | 98,332 | 98,464 | 98,595 | 98,721 | 98,841
15 | 97,981 | 97,896 | 97,954 | 98,064 | 98,194 | 98,331 | 98,467 | 98,598 | 98,723
20 | 97,616 | 97,530 | 97,588 | 97,700 | 97,832 | 97,970 | 98,109 | 98,243 | 98,370
25 | 97,136 | 97,048 | 97,107 | 97,221 | 97,357 | 97,499 | 97,641 | 97,779 | 97,911
30 | 96,623 | 96,530 | 96,593 | 96,713 | 96,856 | 97,006 | 97,157 | 97,305 | 97,446
35 | 96,030 | 95,928 | 95,997 | 96,130 | 96,288 | 96,455 | 96,625 | 96,790 | 96,950
40 | 95,254 | 95,135 | 95,215 | 95,370 | 95,556 | 95,753 | 95,953 | 96,151 | 96,342
45 | 94,121 | 93,974 | 94,073 | 94,265 | 94,495 | 94,741 | 94,991 | 95,238 | 95,479
50 | 92,345 | 92,161 | 92,285 | 92,526 | 92,817 | 93,128 | 93,447 | 93,765 | 94,076
55 | 89,555 | 89,323 | 89,480 | 89,784 | 90,152 | 90,550 | 90,959 | 91,370 | 91,775
60 | 85,437 | 85,150 | 85,343 | 85,721 | 86,180 | 86,679 | 87,196 | 87,718 | 88,237
65 | 79,549 | 79,205 | 79,436 | 79,890 | 80,446 | 81,054 | 81,688 | 82,334 | 82,981
70 | 71,596 | 71,183 | 71,461 | 72,007 | 72,680 | 73,421 | 74,200 | 74,998 | 75,803
75 | 61,077 | 60,569 | 60,910 | 61,585 | 62,421 | 63,347 | 64,327 | 65,340 | 66,369

##### Fuente: Elaboración propia sobre la base de las Tablas 1 y 2 de este Anexo estadístico.

### Anexo Tabla 4.c

##### Tabla 4.c
Tabla de mortalidad proyectada según modelo Lee-Carter. Ambos sexos. Sobrevivientes a edades exactas [lx] (límite superior). Argentina. Años 2011-2050

Edad exacta (x) | 2011 | 2015 | 2020 | 2025 | 2030 | 2035 | 2040 | 2045 | 2050
0 | 100,000 | 100,000 | 100,000 | 100,000 | 100,000 | 100,000 | 100,000 | 100,000 | 100,000
5 | 98,668 | 99,009 | 99,254 | 99,422 | 99,545 | 99,639 | 99,711 | 99,768 | 99,812
10 | 98,567 | 98,925 | 99,185 | 99,364 | 99,496 | 99,596 | 99,675 | 99,736 | 99,785
15 | 98,438 | 98,812 | 99,085 | 99,274 | 99,415 | 99,523 | 99,608 | 99,676 | 99,730
20 | 98,079 | 98,460 | 98,740 | 98,936 | 99,083 | 99,197 | 99,287 | 99,360 | 99,420
25 | 97,610 | 98,004 | 98,297 | 98,503 | 98,661 | 98,785 | 98,884 | 98,966 | 99,035
30 | 97,125 | 97,547 | 97,866 | 98,095 | 98,272 | 98,414 | 98,531 | 98,629 | 98,712
35 | 96,588 | 97,065 | 97,432 | 97,700 | 97,911 | 98,083 | 98,227 | 98,348 | 98,453
40 | 95,910 | 96,480 | 96,924 | 97,253 | 97,515 | 97,730 | 97,912 | 98,066 | 98,200
45 | 94,936 | 95,654 | 96,220 | 96,644 | 96,983 | 97,263 | 97,500 | 97,703 | 97,879
50 | 93,378 | 94,302 | 95,043 | 95,605 | 96,059 | 96,439 | 96,763 | 97,041 | 97,284
55 | 90,870 | 92,071 | 93,053 | 93,810 | 94,433 | 94,960 | 95,415 | 95,810 | 96,158
60 | 87,083 | 88,620 | 89,903 | 90,914 | 91,758 | 92,485 | 93,119 | 93,680 | 94,179
65 | 81,549 | 83,460 | 85,093 | 86,404 | 87,520 | 88,495 | 89,361 | 90,137 | 90,838
70 | 74,028 | 76,405 | 78,479 | 80,177 | 81,647 | 82,950 | 84,122 | 85,186 | 86,157
75 | 64,111 | 67,143 | 69,843 | 72,091 | 74,063 | 75,832 | 77,439 | 78,910 | 80,264

##### Fuente: Elaboración propia sobre la base de las Tablas 1 y 2 de este Anexo estadístico.

### Anexo Tabla 5

##### Tabla 5
Estimación y proyección de la esperanza de vida al nacer 1980-2050 al 95%. Ambos sexos. Argentina

Año (t) | e(0) | LI[e(0)] | LS[e(0)]
1980 | 69.9 |  |
1985 | 71.9 |  |
1990 | 72.4 |  |
1995 | 73.5 |  |
2000 | 74.8 |  |
2005 | 75.5 |  |
2010 | 75.7 |  |
2011 | 76.0 | 75.2 | 76.7
2015 | 76.6 | 75.0 | 78.2
2020 | 77.4 | 75.2 | 79.6
2025 | 78.2 | 75.5 | 80.8
2030 | 79.0 | 75.9 | 81.9
2035 | 79.7 | 76.3 | 83.0
2040 | 80.5 | 76.8 | 84.0
2045 | 81.2 | 77.3 | 85.0
2050 | 82.0 | 77.8 | 86.0

##### Fuente: Elaboración propia sobre la base de las Tabla 4.a, 4.b y 4.c de este Anexo estadístico.

### Notas

1 Para los actuarios y demógrafos, estos conceptos son de especial interés, ya que la asociación de cada momento t con la estructura x constante genera unívocamente una tabla de mortalidad, obteniéndose así cohortes “reales” a partir de tablas dinámicas.
2 El otro método consiste en una optimización similar a la mencionada antes pero ponderada por las defunciones observadas, ya que la función ln trae como consecuencia que grupos con pocas defunciones tengan el mismo peso en la mortalidad general que grupos con mayor densidad (Wang, 2007). Ambos métodos tienen también la ventaja, según Wilmoth, de permitir tasas nulas, las cuales pueden presentarse a ciertas edades si la estimación forma parte de un estudio por causas de muerte.
3 Uno de los supuestos más fuertes del modelo es que la velocidad con que cambia la mortalidad por edad es constante (b), habiendo evidencias de que no siempre es así (Lee, 2000).
4 Adicionalmente, con motivo de la comparación, debería considerarse que en el presente trabajo no se suavizaron los datos de mortalidad de la serie histórica, puesto que esto no era un objetivo del estudio.

### Notas de autor

Actuario por la Universidad de Buenos Aires; Especialista en Demografía por la Universidad Nacional de Luján; Especialista en Seguridad Social (iioss); Profesor de grado de la Universidad de Buenos Aires, de la Universidad del Salvador y de la Universidad Argentina de la Empresa; Profesor de posgrado en la Universidad Nacional de Luján. Sus líneas de investigación son: mortalidad, envejecimiento y proyecciones de población. Publicaciones recientes: M. Belliard, C. Grushka y M. De Biase, “Disability insurance risks: The Argentinian case”, en International Social Security Review, 65, 2012, pp. 49-75; M. Belliard y L. Conti, “La crisis económico-financiera de 2001 y la mortalidad en la Argentina”, en Actas de las XIII Jornadas Nacionales y Latinoamericanas Actuariales, Buenos Aires: fce/uba, 2012; M. Belliard, D. Peña y S. Cerrutti, “Envejecimiento y mortalidad de los adultos mayores en Argentina”, en Actas de las XIII Jornadas Nacionales y Latinoamericanas Actuariales, Buenos Aires: fce/uba, 2012.
Actuario en Economía por la Universidad de Buenos Aires; Maestrando en Demografía Social por la Universidad Nacional de Luján. Principal línea de investigación: análisis demográfico-actuarial de componentes del sistema de seguridad social.